Wie viele signifikante Ziffern haben Floats und Doubles in Java?

Hat ein Float 32 Binärziffern und ein Double 64 Binärziffern? Die Dokumentation war zu schwer zu verstehen.

Lassen sich alle Bits in signifikante Ziffern übersetzen? Oder nimmt die Position des Dezimalpunkts einige der Bits ein?

schweben: 32 Bit (4 Bytes) wo 23 Bit werden für die Mantisse verwendet (ca. 7 Dezimalstellen). 8 Bits werden für den Exponenten verwendet, sodass ein Float den Dezimalpunkt mit diesen 8 Bits nach rechts oder links „bewegen“ kann. Dadurch wird vermieden, dass viele Nullen in der Mantisse gespeichert werden, wie in 0,0000003 (3 × 10^-7) oder 3000000 (3 × 10⁷). Es wird 1 Bit als Vorzeichenbit verwendet.

doppelt: 64 Bit (8 Byte) wo 52 Bit werden für die Mantisse verwendet (ca. 16 Dezimalstellen). 11 Bit werden für den Exponenten verwendet und 1 Bit ist das Vorzeichenbit.

Da wir Binär verwenden (nur 0 und 1), ist ein Bit in der Mantisse implizit 1 (sowohl Float als auch Double verwenden diesen Trick), wenn die Zahl nicht Null ist.

Da alles binär ist (Mantisse und Exponenten), sind die Umrechnungen in Dezimalzahlen normalerweise nicht genau. Zahlen wie 0,5, 0,25, 0,75, 0,125 werden genau gespeichert, 0,1 jedoch nicht. Wie andere gesagt haben, wenn Sie Cent genau speichern müssen, verwenden Sie nicht float oder double, verwenden Sie int, long, BigInteger oder BigDecimal.

Quellen:

http://en.wikipedia.org/wiki/Floating_point#IEEE_754:_floating_point_in_modern_computers

http://en.wikipedia.org/wiki/Binary64

http://en.wikipedia.org/wiki/Binary32

Ein 32-Bit-Float hat eine Genauigkeit von etwa 7 Stellen und ein 64-Bit-Double eine Genauigkeit von etwa 16 Stellen

Lange Antwort:

Fließkommazahlen haben drei Komponenten:

1. Ein Vorzeichenbit, um festzustellen, ob die Zahl positiv oder negativ ist.
2. Ein Exponent, um die zu bestimmen Größe der Nummer.
3. Ein Bruch, der bestimmt, wie weit die Zahl zwischen zwei Exponentenwerten liegt. Dies wird manchmal genannt „der Signifikand, die Mantisse oder der Koeffizient“

Im Wesentlichen funktioniert dies sign * 2^exponent * (1 + fraction). Die „Größe“ der Zahl, ihr Exponent, ist für uns unerheblich, weil sie nur Waage der Wert des Bruchteils. Wissend, dass log₁₀(n) gibt die Anzahl der Stellen von an n,† können wir mit die Genauigkeit einer Fließkommazahl bestimmen log₁₀(largest_possible_fraction). Weil jedes Bit in einem Float 2 Möglichkeiten speichert, eine Binärzahl von n Bits können eine Zahl bis zu speichern 2ⁿ - 1 (insgesamt 2ⁿ Werte wobei einer der Werte Null ist). Dies wird etwas haariger, da sich herausstellt, dass Gleitkommazahlen mit einem Bit weniger Bruch gespeichert werden, als sie verwenden können, da Nullen speziell dargestellt werden und alle Nicht-Null-Zahlen mindestens ein Binärbit ungleich Null haben.‡

Kombiniert man dies, ergibt sich die Stellengenauigkeit für eine Fließkommazahl
log₁₀(2ⁿ)wo n ist die Anzahl der Bits des Bruchs der Gleitkommazahl. Ein 32-Bit-Gleitkomma hat 24 Bruchbits für eine Genauigkeit von ≈7,22 Dezimalstellen, und ein 64-Bit-Double hat 53 Bruchbits für eine Genauigkeit von ≈15,95 Dezimalstellen.

Weitere Informationen zur Gleitkommagenauigkeit finden Sie unter dem Konzept von a Maschinen-Epsilon.

† Zum n ≥ 1 zumindest – für andere Zahlen sieht Ihre Formel eher so aus
⌊log₁₀(|n|)⌋ + 1.

‡ „Diese Regel wird verschiedentlich als führende Bit-Konvention, implizite Bit-Konvention oder versteckte Bit-Konvention bezeichnet.“ (Wikipedia)

Von Java-Spezifikation :

Die Fließkommatypen sind Float und Double, die konzeptionell den IEEE 754-Werten und -Operationen im 32-Bit-Format mit einfacher Genauigkeit und im 64-Bit-Format mit doppelter Genauigkeit zugeordnet sind, wie im IEEE-Standard für binäre Gleitkommaarithmetik, ANSI/IEEE, spezifiziert Standard 754-1985 (IEEE, New York).

Da es schwierig ist, etwas mit Zahlen zu tun, ohne die Grundlagen von IEEE754 zu verstehen, hier ein weiterer Link.

Es ist wichtig zu verstehen, dass die Genauigkeit nicht einheitlich ist und dass dies keine exakte Speicherung der Zahlen ist, wie dies bei ganzen Zahlen der Fall ist.

Ein Beispiel :

double a = 0.3 - 0.1;
System.out.println(a);          

Drucke

0.19999999999999998

Wenn Sie eine willkürliche Genauigkeit benötigen (z. B. für finanzielle Zwecke), benötigen Sie möglicherweise Große Dezimalzahl.

Eine normale mathematische Antwort.

Wenn man versteht, dass eine Gleitkommazahl als einige Bits implementiert ist, die den Exponenten und den Rest darstellen, die meisten für die Ziffern (im Binärsystem), hat man die folgende Situation:

Bei einem hohen Exponenten, sagen wir 10²³, wenn das niedrigstwertige Bit geändert wird, erscheint ein großer Unterschied zwischen zwei benachbarten unterscheidbaren Zahlen. Außerdem sorgt der Dezimalpunkt zur Basis 2 dafür, dass viele Zahlen zur Basis 10 nur angenähert werden können; 1/5, 1/10 sind Endloszahlen.

Also rein Allgemeines: Fließkommazahlen sollten nicht verwendet werden, wenn Sie Wert auf signifikante Ziffern legen. Für Geldbeträge mit Berechnung, e,a, am besten verwenden BigDecimal.

Zum Physik Fließkomma Doppel ausreichend sind, schwimmt fast nie. Darüber hinaus kann der Fließkommateil von Prozessoren, die FPU, intern sogar etwas mehr Präzision verwenden.

Fließkommazahlen werden mit einer Exponentialform kodiert, das ist so etwas wie m * b ^ e, dh überhaupt nicht wie ganze Zahlen. Die Frage, die Sie stellen, wäre im Kontext sinnvoll Festkommazahlen. Es gibt zahlreiche Bibliotheken für Festkommaarithmetik erhältlich.

Zur Gleitpunktarithmetik: Die Anzahl der Nachkommastellen hängt von der Darstellung und dem Zahlensystem ab. Zum Beispiel gibt es periodische Zahlen (0.33333), die keine endliche Darstellung in Dezimalzahl haben, aber eine in Binärzahl und umgekehrt.

Es ist auch erwähnenswert, dass Gleitkommazahlen bis zu einem bestimmten Punkt eine Differenz größer als eins haben, dh value + 1 Erträge valueseit value + 1 kann nicht mit codiert werden m * b ^ ewo m, b und e sind in der Länge fixiert. Dasselbe passiert für Werte kleiner 1, dh alle möglichen Codepunkte haben nicht den gleichen Abstand.

Aus diesem Grund gibt es keine genaue Angabe n Ziffern wie bei Festkommazahlen, da nicht jede Zahl mit n Dezimalziffern haben eine IEEE-Kodierung.

Es gibt ein fast obligatorisches Dokument, das Sie dann lesen sollten, das Gleitkommazahlen erklärt:
Was jeder Informatiker über Gleitkommaarithmetik wissen sollte.

Ansehen Float.intBitsToFloat und Double.longBitsToDouble, die erklären, wie Bits Fließkommazahlen entsprechen. Insbesondere die Bits eines normalen float so etwas aussehen

 s * 2^exp * 1.ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVW

wobei A…W 23 Bits sind – Nullen und Einsen – die einen Bruch in Binärform darstellen – s +/- 1 ist, dargestellt durch eine 0 bzw. eine 1, und exp eine vorzeichenbehaftete 8-Bit-Ganzzahl ist.